Solución:

Para poder utilizar async/await, es necesario instalar un par de dependencias de Babel (proyecto JS + Webpack):

npm install --save-dev babel-polyfill
npm install --save-dev babel-plugin-transform-regenerator

Una vez instalado, modificamos el archivo babel.config.json que tenemos en la raíz del proyecto:

{
  "presets": ["@babel/preset-env"],
  "plugins": ["transform-regenerator"]
}

También será necesario modificar el archivo webpack.config.js para usar el generador:

require("babel-polyfill");

module.exports = {
	entry: ["babel-polyfill", "./src/index.js"],
};